他市に本籍があるのですが、射水市の窓口で戸籍謄本を請求することはできますか。

はい。請求できます。
富山県内どこでもご自分の「戸籍謄抄本」「住民票の写し」などの交付が受けられる「とやま広域窓口サービス」を行っておりますので、本籍又は住所が富山県内にある方は県内市町村窓口どこでも請求することができます。
【取扱窓口】　 ●　県内全市町村役場戸籍・住民票担当窓口
　　　　　　　　●　とやま市民交流館市民サービスコーナー
　　　　　　　　　　（CICビル３階）
　　　　　　　　●　高岡市オタヤ市民サービスコーナー
　　　　　　　　　　（御旅屋セリオ７階）
【取扱証明書】　■　本人又は同一世帯（同一戸籍）の人が請求できるもの
　　　　　　　　　　住民票の写し、戸籍謄抄本、戸籍附票の写し
　　　　　　　　■　本人のみが請求できるもの
　　　　　　　　　　印鑑登録証明書（印鑑登録カードが必要）、身分証明書
【ご利用時間】　月曜日～金曜日（祝日、年末年始を除く。）午前９時～午後４時30分
【必要なもの】　認印、運転免許証など本人確認書類、
　　　　　　　　印鑑登録証明書請求時のみ印鑑登録カード・手帳
　　　　　　　　※窓口備え付け「とやま広域窓口サービス用交付請求書」に記入ください。